» 从1+1+1+1+...=-1/2说起
    最近大马桶区又掀起了一股对所有自然数求和的热潮，本屌也不能免俗，主要是被结论-1/12震慑住了。我去 随便拿个1 出来都比它大，玩个奶子啊告诉我说总和是个负数？
    
    带着这样的疑问，我也尝试走进数学家的世界里面，看看这些大师是怎么把我这样的屌丝的脑子给搞糊涂的。
    
    比起这个，我首先找到了这样一条维基，嗯说的是1+1+1+1+...=-1/2 我想 这一定就是万恶之源吧，如果我能理解了这个等式，那么所有自然数求和也就是毛毛雨啦。
    如同我们常识所知道的，这个数列的和为正无穷大。不过后文说到了，它有另一个解释 就是它也解释为zeta函数正则化，它是黎曼zeta函数在零点的取值
     这里面当S=0时
    在级数发散的地方利用解析连续定义。在这个意义下，这种意义下 1 + 1 + 1 + 1 + … = ζ(0) = −1⁄2。
    
    OK 我们现在的任务就是搞明白，神马叫黎曼zeta函数
    
    
    黎曼zeta函数的提出 ，最早是用来解决一个数学问题 巴塞尔问题
    这个问题是精确计算所有平方数的倒数的和，也就是以下级数的和：
    欧拉通过正弦函数的泰勒展开，取特殊点的办法 得到了精确值π^2/6,但是过程是不严密的。
    黎曼定义了一个全新的函数，与素数的分布密切相关。这个函数对于任何实数部分大于1的复数s都是有定义的，当该函数的S取2的时候，即为巴塞尔问题。通过对黎曼函数的计算，可以得到精确证明。
    不过很显然，这个函数出来之后，成长也是非常的迅猛，人们当然不满足于只在它等于2的情况下，问题其他数值也特别不好求解，我们就试着理解一下吧。
    
    首先我们要知道伽马函数，作为阶乘在实数和复数上的拓展，表达式为
    
    它的无穷乘积形式表现为
    
    
    
    是欧拉-马歇罗尼常数，定义为调和级数与自然对数的差值：
    
    
    OK 说了这么多我们只要知道 伽马函数就是一个阶乘的升级版本就行了。
    
    
    黎曼函数数值计算：
    当S定义在(0,1)区间内时，黎曼函数有
    
    当S为偶整数2K时，有
    其中Bn为伯努利数，可以由以下公式递推
    
    S为奇数2n+1有，
    
    咦，还记得我们要算的东西么，对了，就是S=0的情况下，虽然有点那么不讲道理，我们将0代入偶数时候黎曼函数的表达式，得到
     最后那个表达的意思是n里面取k的数量，就是CNK
    , 其中是克罗内克函数
    
    研究到这里，1+1+1+1+...=-1/2就出来了，但是不仅于此，其实黎曼函数也解决了吵的不可开交的1+2+3+4+5+...=-1/12的问题，看好了。
    
    1+2+3+4+... 其实就是黎曼函数里 S=-1的情况，
    ===-1/12
    
    OK,走到这里，其实问题已经解决了，反而没用到流传很久的视频里面的1-1+1-1+1-... 和1-2+3-4+5-... 但是得到的结论是一样的。作为屌丝的我，不得不服了。。但是我还是在想，那一步不讲道理的代入，它的意义究竟是什么？直到我看到这样一段话，才茅塞顿开
    
    如果看不懂zeta函数和Gamma函数的我可以给另外一个例子。
    
    大家知道几何级数的和法：1/(1-a) = 1 + a + a^2 + a^3 + ...
    当然等号右边这只在|a| < 1收敛所以这等号严格上来说只在|a|<1成立。
    |a|>=1时右边是发散的。但是左边沒问题。例如把a=2代进去。左边得到-1。右边得到 1+2+4+8+...
    
    所以1+2+4+8+...这发散级数“某意义”上等于-1。这和題目原理是一样的。至於这“某意义”是什么意思是数学分析里的一个重要命题。
    
    最后是这种发散级数在理论物理里非常常见。整套量子场论基本上都在求发散级数的和。但很明显最后结果必须是有限的，不然不能跟实验比较。所以理论物理用类似方法来"驯服无限大"。费曼的诺贝尔奬x5C很大程度就是他想到怎样做这种运算。
    
    具体计算过程可以参考http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html 维基百科基本只有结论无计算过程，本屌工科狗完全看不懂 只能照搬结论
    

网友评论2014-01-13 17:44

    看不懂
    
    我知道1+2=3
    
    1+1=2
    

网友评论2014-01-13 17:45

探讨一下那个视频里面证明用到的两条基石，第一条 1-1+1-1+1-1+...
    格兰迪级数(Grandi's series)，即1-1+1-1+1....，是在1703年由意大利数学家格兰迪发表的，后来荷兰数学家丹尼尔·伯努利和瑞士数学家莱昂哈德·欧拉等人也都曾研究过它。格兰迪级数写作
    
     ，即最近炒的热火朝天的-1/12的万恶之源 1-1+1-1+1....数列
    
    它是一个发散级数，也因此在一般情况下，这个无穷级数是没有和的。但若对该发散级数进行一些特别的求和处理时，就会有特定的“和”出现。格兰迪级数的欧拉和和切萨罗和均为1/2
    
    
    维基百科里面指出，通过两两的相加或相减；每一项乘以一个系数；调整括号顺序；在级数前面增加新的项 这几种方法都可以得出格兰迪级数和为1/2。但是这几种方法均只适用于收敛数列，而格兰迪级数是发散的，不能用这些方法。因此也有结论认为格兰迪级数的和不存在。这2种结论均被精确证明。
    
    
    但是 恩纳斯托·切萨罗在1890年第一个出版有关对发散级数求和的严谨方法，就是切萨罗和。基本概念类似莱布尼兹的机率法，一个级数的切萨罗和是其所有分项和的平均。也就是针对每个n，计算前n项的和σn的平均，当n趋近无限大时的极限值即为切萨罗和。
    
    切萨罗和定义如下：令 {an} 为一 数列，且令为数列前 k 项的部份和：
    
    若以下的条件成立，则此数列 {an} 的切萨罗和存在，且其值为α。
    
    
    
    以格兰迪级数为例，其部份和组成的数列 {sn} 为 1,0,1,0....
    
    而数列 {(s1 + ... + sn)/n} 的各项分别为
    
    
    
    而
    
    所以格兰迪级数的切萨罗和为1/2。
    
    
    另外格兰迪级数还有一种欧拉和的定义，也就是之前很多人提到过的,我就不做展开了。写的好累。。
    

网友评论2014-01-13 17:46

    1+1+1+1+...=1/2
    1+(1+1+1+1+...)=1+1+1+1+...=1/2
    所以 1+1/2=1/2
    所以 1=1/2-1/2
    所以 1=0
    
    
    到底是1/2还是-1/2？楼主标题和内容不一致啊。
    

网友评论2014-01-13 17:46

1-2+3-4+5-...
    这条东西居然在维基上也有一项，可见其重要性1-2+3-4+5...
    
    和1-1+1-1不太一样的地方 这个数列没有办法做 狭义的切萨罗求和 但是可以做广义的切萨罗和
    
    此外 欧拉有一种欧拉变换法
    
    要计算欧拉变换，首先要有可形成交错级数的正项序列——在此情况下为1, 2, 3, 4, …。将此序列中的首项标示为 a0。
    
    下一步需要1, 2, 3, 4, …的前向差分；这恰好是1, 1, 1, 1, …。将该序列的首项标示为 Δa0。欧拉变换也基于差分的差分，以及更高的叠函数，但是1, 1, 1, 1, …的前向差分为0。1 &#8722; 2 + 3 &#8722; 4 + …的欧拉变换便可定义为：
    
    
    
    此外还有很多方法证明这个数列的和1/4。
    
    
    实际上我们要认识到 这些无穷发散级数的求和 和我们平时认识的求和 意义是不一样的，按照后者 只能做出无穷大的结论。
    
    对于无穷发散级数的求和除了上文说的切萨罗和,还有 阿贝尔和 和 欧拉和 。
    

网友评论2014-01-13 17:47

    这。。。我该说什么。。。
    

网友评论2014-01-13 17:48

    数学，人类探索世界的最强武器
    

网友评论2014-01-13 17:48

    卧槽 这特么还是文科生的主阵地NGA么？
    这特么是要向科学松鼠会转型啊
    

网友评论2014-01-13 17:48

    在级数发散的地方利用解析连续定义 什么意思
    

网友评论2014-01-13 17:48

    Reply Post by 谏山黄泉 (2014-01-13 17:44):
    
    看不懂
    
    我知道1+2=3
    
    1+1=2
    
    看不懂可以看最后一段，这种等式只是一种类似定义的方法，用于对发散数列的求和，在量子物理上的应用特别有效，解决了各种无穷大的问题
    

网友评论2014-01-13 17:50

    0 = 0;
    假设n个数字的时候 (1-1)+(1 - 1)....+(1-1) = 0成立.
    n+1个的时候 0 + (1-1) = 0
    按照数学归纳法算,应该是0吧.
    

网友评论2014-01-13 17:50

    Reply to Reply Post by 默默语 (2014-01-13 17:48)
    
    问题大家就是这么在改的，实际上特别是在量子力学的应用中很有效果，做到了理论和实验相符合
    
    这种改法本身是很没道理的 我也称之为不讲道理的代入，但是物理实验的结果让人不得不服。。。也许这就是世界的本质吧
    

网友评论2014-01-13 17:51

    which converges when the real part of s is greater than 1
    
    这里的1 1 1 1 1 都是虚数么
    

网友评论2014-01-13 17:51

    Reply Post by 德拉克斯勒 (2014-01-13 17:46):
    
    1+1+1+1+...=1/2
    1+(1+1+1+1+...)=1+1+1+1+...=1/2
    所以 1+1/2=1/2
    所以 1=1/2-1/2
    所以 1=0
    
    
    到底是1/2还是-1/2？楼主标题和内容不一致啊。
    
    标题打错了 已修正
    

网友评论2014-01-13 17:51

    Reply to Reply Post by 默默语 (2014-01-13 17:48)
    
    同问。
    
    我是醉了。
    

网友评论2014-01-13 17:52

    刚刚搬砖回来看到此贴，我三观。。。。无数个1加起来等于0.5。。。是这个意思吗
    

网友评论2014-01-13 17:52

    Reply to Reply Post by 默默语 (2014-01-13 17:51)
    
    
    其实我是工科狗 根本不会算的 具体计算过程请参考
    
    http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html
    

网友评论2014-01-13 17:53

    这个我昨天刚看了视频
    
    等式一:1-1+1-1+1-1..... 你在任何位置停止 答案有可能是1或者0 然后因为是无穷数列 然后期望值取平均就是1/2 这个还算好理解-_- 尽管还是很诡异
    
    然后后面还有两个等式可以证明1+2+3+4+5....最后等于-1/12 尼玛,毁三观的物理学-_-
    

网友评论2014-01-13 17:53

     这里面当S=0时
    在级数发散的地方利用解析连续定义。在这个意义下，这种意义下 1 + 1 + 1 + 1 + … = ζ(0) = &#8722;1&#8260;2。
    
    
    结合 ζ函数。
    
     ζ(0) 为什么等于-1/2？
    

评论

网友评论2014-01-13 17:55

    走错片场了
    你们聊