» 实分析反例，要考数学的高考生千万别进来，颠覆你的数学直觉
    实数域上一个单调递增的有界可微函数f，但lim(x→±∞)f '(x)≠0
    
     直觉上，一个单调递增的有界函数走到无穷远的地方一定是“平”的，而事实上却并非如此。我们能构造这样一个函数，它是R上的递增有界函数，但无穷远处的导数并不等于0。
     对所有非负整数n，定义f(n)=1 - 1/2^n。接下来，用下面的方式把函数扩张到全体非负实数：对区间(n, n+1)，用一条光滑的、递增的、导数由0变成1再变成0的函数来连接f(n)和f(n+1)(例如正弦函数的一个完整递增区间缩小至原大小的1/2^(n+2)再加上两根分别等于f(n)和f(n+1)的常函数)。
    
    
    
     再令f(-x)=-f(x)。则这个函数是R上的一个单调递增的有界函数，但导数的极限显然不为0。事实上，这个函数的导数在无穷远处根本就没有极限，因为不管走到多远导数总能取满从0到1的所有值。
     如果把问题的条件改为“严格递增”呢？对于严格递增的有界函数，无穷远处的导数也不见得为0，构造一个反例很简单，只需要在刚才那个函数上面加上一个严格单增的有界函数即可，如令g(x)=f(x)+1-1/2^n。显然，g(x)仍然单调有界，且g'(x)=f'(x) + ln(2)/2^n，其极限仍然不为0。
    
    函数f在x0的任意小的邻域内都无界，但x→x0时f(x)并不趋于无穷大
    
     f(x)=|cos(1/x) / x|满足要求。无论对于多大的正数N，总存在一个充分接近0的点使得f(x)>N。例如，取x=1/(nπ)，则f(x)=|1/x|=nπ，上述结论显然。
    
    
    
     有趣的是，如果取x=1/((n+1/2) π)，则当n→∞时x→0，且f(x)→0。这说明，x趋于0时f(x)并不趋于无穷大。
    
    f(x)→∞，不见得有f '(x)→∞
    
     与上例比较类似。考虑(0,1)上的函数f(x)=1/x + cos(1/x)，显然lim(x→0+) f(x)=+∞ 。但f '(x)=(sin(1/x)-1)/x^2，若令x=1/(2n+1/2)π，当n→∞时f '(x)=0，这说明f '(x)→∞是不成立的。
    
    处处有限而又处处局部无界的函数
    
     定义函数f(x)=0 (当x为无理数)， f(x)=n (当x为有理数且可表示为既约分数m/n)。这个函数在每一点上都有意义，每一个f(x)都是有限的；但在任意小的区间内，你能找到分母任意大的既约分数，因此函数在任意小的一个区间上都是无界的。
    
    二元函数f(x,y)在原点处不连续，但在任意一条通过原点的直线上都是连续的
    
     定义函数f(x,y)=x^2/y，当y>0且x^2/y≤1时；f(x,y)=y/x^2，当y>0且x^2/y≥1时；当y=0时f(x,y)=0。再令f(x,-y)=f(x,y)。
    
    
    
     任意接近(0,0)的地方都存在形如(a, a^2)的点，相应的函数值为1，因此函数在原点间断；可是，取任意一条过原点的直线y=mx，当|x|充分小时必有x^2/y≤1，此时|f(x,y)|=|x^2/y|=|x/m|，函数在原点处连续。
    
    还有更多反例
    
    函数上某一点导数为正，该点邻域不一定形成单增区间
    一个阶梯状的连续函数？
    只在一点连续的函数？
    除常函数外的没有最小正周期的周期函数
    

网友评论2013-06-06 15:29

    这是什么？
    不明觉厉！
    

网友评论2013-06-06 15:29

    完全看不懂…不行，我的单核处理器卡住了…
    

网友评论2013-06-06 15:29

    仔细地看了一遍，这些汉字数字字母我都认识耶
    但是他们合起来是什么意思呢。。
    

网友评论2013-06-06 15:32

    高考能考这个？这都是本科才教的啊
    

网友评论2013-06-06 15:34

    什么是函数？？
    

网友评论2013-06-06 15:36

    高数挂科的给跪了
    

网友评论2013-06-06 15:38

    高数连挂两个学期的给跪了，大脑Cpu超频烧了
    

网友评论2013-06-06 15:42

    这是高数吧。。。
    

网友评论2013-06-06 15:42

    我发现我白学了…老子怎么都算是应用数学专业啊…简直坑爹
    

网友评论2013-06-06 15:43

    最恨数学了
    

网友评论2013-06-06 15:43

    高考数学挂科的数学专业撸过
    完全看不懂，天书
    

网友评论2013-06-06 15:44

    高数靠作弊才及格的给跪了
    

网友评论2013-06-06 15:44

    楼主做的不错 很简明直接 话说这些难？
    

网友评论2013-06-06 15:44

    实变函数学十遍 被各种反例秒的一头雾水
    

网友评论2013-06-06 15:46

    Reply to Reply Post by jaguar_bmif (2013-06-06 15:44)
    
    不是我做的，是matrix67
    

网友评论2013-06-06 15:50

    matrix67里各种稀奇古怪，什么函数处处连续，但是处处不可导。
    

网友评论2013-06-06 15:52

    Reply Post by Doctor_Feynman (2013-06-06 15:46):
    
    不是我做的，是matrix67
    
    考研数学里有很多这种我很头疼的概念题 有个图会有个很直观的印象
    

网友评论2013-06-06 15:53

    
    表示维尔斯特拉斯函数颠覆了我的数学直觉
    

网友评论2013-06-06 15:54

    高考前也就学个求导，连微分和积分的概念都不深入讲。
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